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\newtheorem{prop}[thm]{Proposizione} 

\theoremstyle{definition} 
\newtheorem{defn}{Definizione}[chapter] 

\theoremstyle{remark} 
\newtheorem{oss}{Osservazione} 

\begin{document}

\frontmatter
\begin{titlepage}
\centering
{\huge Analisi 1 \par}
\vspace{45 pt}
{\large Ingegneria Meccanica, Canale 4, 2011 \par}
\vspace{45 pt}
{\large Pierpaolo Soravia\par}
\end{titlepage}

\mainmatter
\tableofcontents


\chapter{Introduzione}

\section{Insiemi Numerici}

Si può considerare come primitivo il concetto di insieme, ovvero una collezione di oggetti definiti elementi dell'insieme. Un metodo di rappresentazione efficace può essere la semplice
 elencazione degli elementi che lo compongono. Si possono in questo modo definire alcuni insiemi fondamentali:

\begin{itemize}
 \item[-] $\mathbb{N}= \left \{ 0,1,2,3,...\right \}$: numeri naturali.Il problema con questo insieme è dato dal fatto che alcune operazioni, come ad esempio certe sottrazioni non sono 
       consentite: $2-7=?$
 \item[-] $\mathbb{Z}= \left \{... ,-2, -1, 0, 1, 2, 3 \right \} $: numeri interi. In questo caso invece alcuni quozienti non sono permessi: $3:5= ?$
 \item[-] $\mathbb{Q}= \left \{ \frac{p}{q}: p,q \in \mathbb{Z}, q \not= 0 \right \}$ : numeri razionali. Questo insieme ha due operazioni, la somma e il prodotto. Questo insieme ha le
 seguenti proprietà:
          \begin{itemize}
             \item[-]Commutativa;
             \item[-]Distributiva;
             \item[-]Associativa;
             \item[-]Elemento neutro: \begin {enumerate}
                                         \item Somma=0 \par $x+0=x=0+x$
                                         \item Prodotto=1 \par $ x \cdot 1 = x = 1 \cdot x$
                                      \end {enumerate}
             \item[-]Esistono: \begin {enumerate}
                                 \item \textbf{Opposto}: Se $x\in \mathbb{Q} \ \exists\  (-x)\in \mathbb{Q} \ | \ x+(-x)=0$\\
                                       $x-y=x+(-y)$ dove $-y$ è l'opposto di y
                                     

                                 \item \textbf{Reciproco}: Se $x\in \mathbb{Q} \ , x\not=0 \ \exists\  \frac{1}{x}\in \mathbb{Q} \ | \ x \cdot \frac{1}{x}=1 $\\
                                      $\frac{x}{y}\ con \ y\not=0 \ equivale \ a \  x \cdot \frac{1}{y} $ dove\  $\frac{1}{y}$\  è il reciproco di y.
                                     

                               \end{enumerate}
            \item[-] $\mathbb{Q}$ ha un \textbf{ordine}: dati $x,y \in \mathbb{Q}$ accade che $x\le y$ oppure $y \le x$:
                   \begin{enumerate}
                      \item Compatibilità con la somma: \par
                            \textbf{Se} $x\le y$ e $ z\in \mathbb{Q} \Rightarrow x+z \leq y+z$
                      \item Compatibilità con il prodotto: \par
                            \textbf{Se} $x\le y$ e $ z\in \mathbb{Q}, z \geq 0 \Rightarrow x \cdot z \geq y \cdot x$ \par \bigskip
                    \end{enumerate}
           \end{itemize}
\end{itemize}
\textbf{Diagonale del quadrato} \par \bigskip
 La soluzione positiva di $x^2=2 $ non è un numero razionale. \\ 

\textbf{Dim.} \\
Se fosse $x= \frac{p}{q}$ dove $ p,q \in \mathbb{Z}, q\not=0 $ e p,q \textbf{relativamente primi} e $x^2=2=\frac{p^2}{q^2} \Rightarrow $\\
\[
p^2=2q^2 \Rightarrow p^2 \ e \ pari\  \Rightarrow p\ e \ pari \
\]
\[
\Rightarrow p=2n \Rightarrow \ n \in \mathbb{Z} \Rightarrow \  x= \frac{2n}{q} \Rightarrow
\]
\[ 
 4 n^2=2q^2 \Rightarrow q^2=2n^2 \Rightarrow q \ e \ pari.
\]
X secondo la proposizione deve essere il quoziente di due numeri interi e primi, quindi se entrambi sono pari non possono essere primi, quindi la proposizione è stata dimostrata per assurdo.

\section{Numeri Reali}
$\mathbb{R}$= \{Allineamenti decimali propri\} \par \medskip
Per propri si intende il fatto che vengano esclusi i numeri che termino con un fattore costantemente 9 da un indice in poi [$0,\bar{9}=1$]. \par \medskip
Sono scritture simboliche del tipo $x= p \cdot \alpha_1, \alpha_2, ... \ p \in \mathbb{Z} $ \\
con $\ \alpha_1, \alpha_2,... \in \left \{0,1, ..., 9 \right \}$ \par \bigskip

 $\mathbb{Q}$ è \textbf{denso} in $\mathbb{R}$, cioè se $x < y$ e $x,y \in \mathbb{R}$, esiste $\frac{p}{q} \ |$
\[
 x< \frac{p}{q} <y
\] \par \medskip

 Sia \ $ A \subset \mathbb{R}, A\not= \varnothing$ diciamo che $k \in \mathbb{R} $ è un \textbf{maggiorante} di A se, e solo se $x \leq k \ \forall \ x \in A$
 Diciamo A \textbf{superiormente limitato} se A ha dei maggioranti. Le stesse definizioni possono essere applicate in maniera speculare per i \textbf{minoranti}
 e per gli insiemi  \textbf{inferiormente limitati}. \\

  $A \subset \mathbb{R}$ è \textbf{limitato} se è sia superiormente che inferiormente limitato.\\


 Sia $A\subset \mathbb{R}$ superiormente limitato. Se $k \in \mathbb{R}$ è maggiorante di A e $k \in A$ allora k si dice il \textbf{massimo} di A. 
\[
 k=max A
\]




\section{Intervalli}

\[
(a,b)= \{ x \in \mathbb{R} \ | a<x<b \}
\]
 \par \medskip
Questo intervallo risulta limitato in quanto ha b come maggiorante ed a come minorante. Consideriamo un numero reale $\varepsilon > 0$: \par \medskip

Il numero $b-\varepsilon$ non può essere maggiorante perchè c'è sicuramente un numero compreso tra lui e b appartenente all'insieme, per la proprietà della densità
dei numeri reali. Questo significa che non si può trovare un maggiorante dell'insieme che sia contenuto nell'insieme stesso.
Un insieme di questo tipo si dice aperto, in quanto  maggioranti e minoranti non sono compresi, e quindi non ha nè massimo nè minimo.  \par \medskip


\[
[a,b]= \{ x\in \mathbb{R} \ | a \leq x \leq b \}
\]
  \par \medskip

Questo tipo di insieme viene invece definito chiuso, in quanto gli estremi sono contenuti. In questo caso i maggioranti e i minoranti sono compresi, e quindi ammette massimo e minimo.


\section{Valore Assoluto}
Se $ x\in \mathbb{R}$
\[|x| = max\{x, -x\}=
\bigg \{
\begin{array}{rl}
 x & se \ x \geq 0 \\
-x & se \ x \leq 0 \\
\end{array}
\]
 Se $x_1 \in \mathbb{R}, \ x_2 \in \mathbb{R}$:
\[
 -|x_1| \leq x_1 \leq |x_1|
\]
\[
 -|x_2| \leq x_2 \leq |x_2|
\]
Dalla somma di queste disequazioni si ottiene:
\[
 -(|x_1|+|x_2|) \leq x_1+x_2 \leq |x_1|+ |x_2|
\]
 I due termini estremi sono opposti, e quindi per la densità dei numeri reali esiste un numero compreso tra i due.

\[
 \Rightarrow |x_1+ x_2 | \leq |x_1|+ |x_2|
\]
 Questa diseguaglianza è detta \textbf{diseguaglianza triangolare}. Essa può essere utilizzata come segue:


\[
 |x_1|=|(x_1-x_2)+x_2| \leq |x_1 -x_2|+|x_2|
\]
\[
 \Rightarrow |x_1|- |x_2| \leq |x_1-x_2|
\]
\[
 |x_2-|x_1| \leq |x_2-x_1|= |x_1-x_2|
\]
Da cui deriva che:
\[
 ||x_1|-|x_2|\ \leq |x_1-x_2|
\] \par \medskip
Siano quindi $x,y \in \mathbb{R}$:

\[
 0 \leq (x+y)^2 = x^2+ 2xy+y^2
\]
\[
  -2xy \leq x^2+ y^2
\]
Se si considera invece il caso
\[
 0 \leq (x-y)^2 = x^2- 2xy+y^2
\]
\[
  2xy \leq x^2+ y^2
\]
Queste due disequazioni possono essere riscritte come segue:
\[
 |2xy| \leq x^2+ y^2
\]
\[
 2|x||y| \leq x^2 + y^2
\]
\[
 |x||y| \leq \frac{x^2+ y^2}{2}
\]
E' possibile riscrivere questa disequazione utilizzando le radici quadrate, tramite un cambio di variabile.
\[
  x\leftrightarrow \sqrt{z} \ \ y \leftrightarrow \sqrt{t}
\]
Da cui deriva che:
\[
 \sqrt{z} \sqrt{t} \leq \frac {z+t}{2}
\]
\[
 \sqrt{zt} \leq \frac{z+t}{2}
\]

Dove $\sqrt{zt}$ è la media geometrica e $\frac{z+t}{2}$ è la media matematica. In questo modo è dimostrato il fatto che la media geometrica di due numeri reali sia sempre inferiore
della media aritmetica degli stessi due numeri.




\section{Proprietà di completezza}

Ricordiamo che $K=max A$ se:
\begin{enumerate}
 \item $K \geq x \ \forall x\in A$ = K è maggiorante
 \item $K \in A$ = appartenenza all'insieme
\end{enumerate} \par \bigskip
 Sia $ A \subset \mathbb{R}$ superiormente [inferiormente] limitato. \\
 Diciamo che $p \in \mathbb{R}$ è l'estremo superiore [inferiore] di A. 
 \[
p=sup[inf]A
  \]

Se p è il minimo [massimo] tra tutti i maggioranti [minoranti] di A \par \bigskip
\textbf{Caratterizzazione dell'estremo superiore e inferiore}:\par \bigskip
$p=sup[inf]A \Leftrightarrow $
\begin{enumerate}
                               \item  $x \leq [\geq] p \ \forall x\in A$
                               \item $ \forall \varepsilon >0 \ \exists x \in A | p-\varepsilon <[>]x$
\end{enumerate}

Se p= max A, allora
\[ p=sup A\\
\Rightarrow p\in A, p \leq x \ \forall x \in A 
\]
\[
e \ \forall \varepsilon<0, p- \varepsilon < p \in A
\] \par \bigskip
  Sia $A \subset \mathbb{R}$ superiormente limitato, $A \not= 0$ .\\
 Allora esiste $p=sup A \in \mathbb{R}$


Se A non è superiormente limitato diciamo che $sup A= \infty$

\section{Radice Quadrata}
Se $x>0$ e $ x^2=2$ allora si ha che:
\[
 x= sup \{ y\in \mathbb{Q} | y^2<2\}
\]
Quindi x ha 2 come maggiorante. Quindi $1\leq y \leq y^2 \leq 2$:
\[
 x^2=2 \ e \ y^2 < 2
\]
\[
 y^2<x^2 \Rightarrow y<x
\]
Dato che $x,y>0$, x è maggiorante per questo insieme. Se $ \varepsilon >0$ esistono $y>0$ e $y^2<2$
\[
 x- \varepsilon < y
\]
Se $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$:
\[
 x-\varepsilon < \frac{p}{q} < x \Rightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^2 < x^2 =2
\]
Con i numeri reali si può quindi risolvere il  problema delle radici grazie all'estremo superiore. \par \bigskip

 Sia $ y\in \mathbb{R}. \  y>0, \ n \in \mathbb{N}, \ n\not= 0.$ Allora esiste un unico $ x \in \mathbb{R} \leq 0$ tale che:
\[
 x^n=y
\]
\[
 x= y^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{y}
\]


Per calcolare la readice ennesima il numero deve essere quindi positivo, e dare quindi un risultato positivo.
\[
 sup \left \{ s\geq 0 : s^n < y \right \} =x
\]
 Nel caso che n sia dispari, è comunque possibile calcolare la radice n-esima di un numero negativo.


\section{Principio di Induzione}

Sia $n_0 \in \mathbb{Z}$ e sia $P_n$ un predicato per ogni numero naturale. Se
\begin{enumerate}
 \item $P_0$ è vera;
 \item se $P_n$ è vera, allora è vera anche $P_{n+1}$
\end{enumerate}

Per esempio dimostriamo la veridicità della diseguaglianza di Bernoulli: \[
                                                                           (1+h)^n \geq 1+ nh \ , \ \forall n\in  \mathbb{N}
                                                                         \]
Inizialmente bisogna verificare la veridicità di $P_0$, essendo:
\[
 (1+h)^0 \geq 1+ 0 \cdot g \Leftrightarrow 1\geq 1
\]
Si suppone quindi che $P_n$ sia vera. E' necessario da questa ipotesi dimostrare che $P_{n+1}$ è vera:
\[
 (1+h)^{n+1} \geq 1+ (n+1)h
\]
\[
 (1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h) \geq (1+nh)(1+h)
\]
\[
 (1+h)^{n+1} \geq (1+nh)(1+h)= 1+ (n+1)h+ nh^2 \geq 1+ (n+1)h
\]

\chapter{Funzioni}

Siano X,Y insiemi non vuoti. Una funzione f da X in Y è una corrispondenza univoca da X a Y, ovvero associa a ogni $x\in X$ uno e un solo elemento $y \in Y$. Tale elemento è detto
\textbf{valore della funzione} in x e si scrive y= f(x).

\[
 f: X \rightarrow Y
\]
  \[
\ \ \  x \mapsto f(x)
  \]
L'insieme X si dice \textbf{dominio} della funzione, mentre l'insieme Y si dice \textbf{codominio}. Il grafico di una funzione viene definito come segue:
\[
 graf(f)=\{ (x,f(x)): x \in X \} \subseteq \mathbb{R}^2
\]\par \bigskip

 Il \textbf{dominio} naturale di una funzione y=f(x) è il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ per il quale ha senso l'espressione f(x).\par \bigskip

 Sia $f: X \rightarrow Y $ una funzione. Diciamo \textbf{immagine} di f l'insieme di tutti i valori che f assume, cioè:
\[
 f(X)= \{f(x):x \in X \} \subseteq Y
\]



 \[
  X,Y \subseteq \mathbb{R}, f: X \rightarrow Y
 \]
Se $ z \subseteq X$ la \textbf{restrizione} di f a z è la funzione:
\[
 f|_z: z \rightarrow Y
\]
\[
 \ \ x \mapsto f(x)
\]



\section{Funzioni Trigonometriche}

  Sia: \[
        f: X \rightarrow \mathbb{R}
       \]
 Si dice che la funzione è periodica e p è un suo periodo se:

\[
 x \in X \Rightarrow x \pm p \in X
\]
e
\[
 f(x+p)= f(x) \forall x\in X
\]
Il periodo minimo di una funzione si dice periodo di f. \\

Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo $ 2\pi$, mentre la funzione trigonometrica tangente è periodica di periodo $\pi$

\section{Proprietà delle funzioni}

Le proprietà delle funzioni si fanno risalire alla loro immagine.
\[
 f: X \rightarrow Y
\]
\[
 f(X)=\{f(x): x \in X \} \subseteq \mathbb{R}
\]

Se consideriamo una funzione \textbf{ superiormente [inferiormente]} limitata, la sua immagine sarà superiormente [inferiormente] limitata.
Se f(x) è superiormente [inferiormente] limitata, allora ha almeno un maggiorante [minorante]
\[
 \exists \ M \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \leq [\geq] \ M \ \forall x \in X
\]
La funzione può dirsi allo stesso modo limitata se l'immagine è limitata, ovvero se è sia superiormente che inferiormente limitata. \par \bigskip

Diciamo che $ f: X \rightarrow Y $ ha \textbf{massimo [minimo]} globale o \textbf{assoluto}, se l'immagine della funzione ammette massimo[minimo]. 
\[
 max[min] \ f(x)
\]
$x_0$ è quindi un punto di massimo[minimo] globale se:
\[
 f(x_0)= max[min] \ f(X)
\] \par

\section{Funzioni invertibili}

Una funzione $f: X \rightarrow Y$ è \textbf{iniettiva} se:
\[
 x_1, x_2 \in X \ , \ f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow  x_1=x_2
\]
Oppure se:
\[
 f(x_1) \not= f(x_2) \ allora \ x_1 \not= x_2
\]
Oppure se dato $y \in Y$ l'equazione $f(x)= y$ ha al più una soluzione \\

Una funzione $ f: X \rightarrow Y$ si dice \textbf{suriettiva} se:
\[
 f(X)=Y
\]
 Oppure se dato $ y \in Y$ l'equazione $f(x)=y$ ha almeno una soluzione.\\

Una funzione si dice \textbf{biettiva} se è sia iniettiva che suriettiva, oppure se l'equazione:
\[
 f(x)=y \in Y
\]
ha esattamente una soluzione.\par \bigskip

Quindi di conseguenza:dimino
\[
 \forall y \in Y \ \exists! \  x \in X \ | \ f(x)=Y
\]
possiamo quindi costruire:
\[
 f^{-1}: Y \rightarrow X
\]
\[
 t \mapsto x \ | \ f(x)= y
\]
 Questa funzione è detta la funzione \textbf{inversa} di f. C'è un modo per legare il grafico di una funzione con quello della sua inversa. Basta infatti 
 semplicemente tracciare il grafico simmetrico alla bisettrice del 1o e del 3o quadrante.
\[
 (x,y) \in graf \ f \Leftrightarrow y=f(x) \Leftrightarrow x= f^{-1}(y) \Leftrightarrow (y,x) \in graf \ f^{-1}
\]

Una condizione sufficiente perchè la funzione sia invertibile è quindi che questa sia biettiva. Tuttavia una funzione può risultare invertibile anche se
 solo iniettiva. In questo caso il codominio deve essere scelto esattamente come l'immagine della funzione. Con questa scelta infatti la funzione diventa
 biettiva, e ha quindi inversa.

\section{Funzione composta}

Siano $f: X \rightarrow Y$ , $ g: V \rightarrow W$. \\
E' possibile definire $g(f(x))$ \ ?
Definiamo il dominio naturale:
\[ 
X_0=\{x \in X | f(x) \in V\} \not= 0
\]

Si ha quindi una nuova funzione detta composta $g\circ f$
\[
 X_0 \rightarrow W
\]
\[
 x \rightarrow g(f(x))
\]

\section{Funzioni monotone}
Sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ , e sia $ A \subseteq X$. Diciamo che f è \textbf{crescente [decrescente]} in A se:
\[
 \forall (x_1, x_2) \in A, \ x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq[\geq] f(x_2)
\]
Diciamo che f è strettamente crescente [decrescente] su A se:
\[
 \forall (x_1, x_2) \in A, \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < [>] f(x_2)
\] \par \bigskip

Se $f: X \rightarrow Y$ è monotona, allora f è invertibile. Lo si può dimostrare affermando che se $x_1 \not= x_2, \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
allora $f(x_1) \not= f(x_2)$. La funzione è quindi iniettiva e perciò invertibile.\par \medskip

Sia $f: X \rightarrow Y$ biiettiva e crescente. Allora $f^{-1}$ ha la stessa proprietà di monotonia. \par \medskip

La funzione $ f: X \rightarrow \mathbb{R}$ è strettamente crescente se, e solo se il rapporto incrementale :
\[
 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0
\]

Se una funzione composta $g\circ f$ ha come dominio il suo dominio naturale, e f e g sono monotone, allora anche la funzione composta è monotona.

\section{Funzioni pari e dispari}

Data $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, diciamo che f è \textbf{pari} se:
\begin{enumerate}
 \item $x \in X \Rightarrow -x \in X$
 \item $f(-x)=f(x)$
\end{enumerate}
Se $(x,y) \in graf \ f, \ y= f(x)= f(-x), \ (x, -y) \in graf \ f$.
Il grafico di una funzione pari è quindi simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Data$ f: X \rightarrow \mathbb{R}$, diciamo che f è \textbf{dispari} se:
\begin{enumerate}
 \item $x \in X \Rightarrow -x \in X$
 \item $ f(-x)=-f(x)$
\end{enumerate}
Se $(x,y) \in graf \ f \Leftrightarrow (-x,-y)\in graf \ f$
Il grafico di una funzione dispari è quindi simmetrico rispetto all'origine.

\chapter{Calcolo Infinitesimale}

Il concetto fondamentale alla base del calcolo infinitesimale è il modulo dei numeri reali.
\[
 |x|= max\{x, -x\}
\]
Si basa sulla possibilità di misurare la distanza tra due punti su una retta.
\[
 |x-y|=d(x.y)
\]
La distanza verifica infatti alcune proprietà che sono proprie del modulo:
\begin{enumerate}
 \item $ |x-y| \leq 0, \ |x-y|= 0 \Leftrightarrow x=y$;
 \item $|x-y|=|y-x|$: proprietà simmetrica;
 \item Se $x,y,z \in \mathbb{R}$ allora: \[
                                          |x-y| \geq |x-z| + |z-y|
                                         \]
 Dato che: \[
           |(x-y)\pm z|=|(x-z)+(z-y) \leq |x-z| + |z-y|
          \]
\end{enumerate}
\section{Intorni}
 Dato $ x\in \mathbb{R}$ e $ \varepsilon >0$ diciamo intorno di $x$ e raggio $\varepsilon$ l'insieme:
\[
 B_{\varepsilon}(x) = \{ y \in \mathbb{R} : |x-y| < \varepsilon \}=(x-\varepsilon, x+\varepsilon)
\]
Sono tutti i punti che si trovano ad una distanza minore di $\varepsilon$ da $x$. \par \bigskip

Siano $x,y \in \mathbb{R}, x \not= y$, esistono U intorno di x e V intorno di y tali che:
\[
 U\cap V= \emptyset
\]
Si può dimostrare ponendo che $ \varepsilon = \frac{|x-y|}{2}>0$, allora basta scegliere:
\[
 U= B_{\varepsilon}(x), V= B_{\varepsilon}(y)
\]

\section{Uso degli Intorni}
Sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, diciamo che $x_0 \in X$ è un \textbf{punto di minimo [massimo] locale} per f se esiste un intorno U
 di $x_0$ tale che:
\[
 f(x_0) \leq [\geq]f(x) \ \forall x \in U \cap X
\]
Se $x_0$ è punto di \textbf{massimo[minimo] globale} per la funzione, allora è anche punto di massimo[minimo] locale. \\
Si dice che $x_0$ è un punto di \textbf{massimo [minimo] locale stretto} se esiste un intorno U di $x_0$ tale che:
\[
 f(x_0) >[<] f(x) \forall x \in U\cap X, x \not=x_0
\] \par \bigskip

Sia $ E \subseteq \mathbb{R}$, diciamo che $ x \in \mathbb{R}$ è \textbf{punto di accumulazione} per E se per qualunque intorno U di x:
\[
 (U\smallsetminus \{x\}) \cap E \not= \emptyset
\]
Nell'intorno U ci sono quindi punti di E diversi da x.\par \medskip

Sia $ E \subseteq \mathbb{R}$. Se $ x\in E$ non è punto di accumulazione per E, dico che x è un \textbf{punto isolato}, cioè esiste un
 intorno U tale che:
\[
 U \cap E= \{x\}
\] \par \bigskip

Sia $E \subseteq \mathbb{R}$, ogni intorno di un punto di accumulazione x per E contiene infiniti elementi di E.\\

Questo può essere dimostrato per assurdo come segue: \par \medskip
Sia x un punto di accumulazione per E, e dia U un intorno di x. Poniamo per assurdo che questo contenga solo n elementi.\\
Siano $\{x_1, x_2, ..., x_n\} \in E \cap U \smallsetminus \{x\}$ punti distinti. Sia:
\[
 min \{ |x-x_k|, k=1,2,...,n\}>0
\]
Perciò l'intorno $ B_{\varepsilon}(x)$ non contiene nessuno dei valori $x_k$, in quanto se
\[
 y \in B_{\varepsilon}(x), |x-y|< \varepsilon \Rightarrow y \not= x_k
\]
Però $B_{\varepsilon}(x)$ è intorno di x, che è punto di accumulazione per E, quindi:
\[
 E \cap (B_{\varepsilon}(x) \smallsetminus \{x\})\ni x_{n+1}
\]
E in questo modo si è giunti ad una contraddizione, dimostrano la proposizione. \par \bigskip

\section{Teorema di Bolzano-Weierstrass}

Il teorema di \textbf{Bolzano-Weierstrass} afferma che:
Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ limitato e infinito. Allora E ha almeno un punto di accumulazione in $\mathbb{R}$. \par \medskip
\[
 E= \left \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right \} \leq [0,1]
\]
Il punto 0 è quindi punto di accumulazione per E.  $\mathbb{N}$ d'altro canto è infinito ma non ha punti di accumulazione, in quanto
 non è limitato.  \par \medskip

Sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R}^*$ punto di accumulazione per X. Diciamo che la funzione f verifica la 
proprietà  P definitivamente per $x \rightarrow x_0$ se esiste un intorno U di $x_0$ tale che $f(x)$ verifica P:
\[
 \forall x \in U \smallsetminus \{x_0\}
\] \par \bigskip

Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ e sia $ x \in \mathbb{R}$. Diciamo che:
\begin{itemize}
 \item [-] x è interno ad E se esiste U intorno di x tale che $ U \subset E, \ x \in E^o$
 \item[-] x è esterno ad E se x è interno al complementare di $ E= \mathbb{R} \smallsetminus E$. Esiste cioè U intorno di x e 
$ U \cap E = \emptyset$
 \ x è di \textbf{frontiera} per E se non è interno né esterno ($ x \in \delta E$) \par \medskip
\end{itemize}
Se $ x\in \delta E$, allora in ogni intorno U di x si trovano elementi di E e del complementare di E.\\
Se consideriamo $E= \mathbb{Q}$ allora per ogni $\varepsilon >0$, in $(x- \varepsilon, x + \varepsilon)$ cadono elementi di 
$\mathbb{R}$ e ($\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q}$). Quindi $\delta \mathbb{Q} = \mathbb{R}$

\section{Insiemi aperti e chiusi}

Sia $ E \subseteq \mathbb{R}$. Diciamo che E è \textbf{aperto} solo se $ E= E^o$, cioè E contiene solo punti interni.\\
$E^o$ è un insieme aperto, cioè se $x \in E^o$ esiste U intorno di x tale che $ U \in E^o$. \par \medskip

L'unione di insiemi aperi è un insieme aperto. L'intersezione di una famiglia finita di insiemi aperti è un insieme aperto. Ad
esempio siano $E_n( -frac{1}{n}, \frac{1}{n}), n \in \mathbb{N}, n >1$.
\[
 E= \left \{ x \in \mathbb{R} : x \in \left ( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right ) \forall n \leq 1 \right \} =\bigcap_{n \leq 1} \left ( -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right )= \{0\}
\]
Diciamo che $ E \subseteq \mathbb{R}$ è \textbf{chiuso} se $\mathbb{R} \smallsetminus E $ è aperto. La \textbf{chiusura} di E è:
 $\overline{E}= E \cup \delta E$\\

$\overline{E}$ è un insieme chiuso in quanto:
\[
 \mathbb{R} \smallsetminus \overline{E} = \mathbb{R} \smallsetminus (E \cup \delta E)= (\mathbb{R} \smallsetminus E)^o
\]
In base a ciò anche $ \mathbb{R}$ e $ \emptyset$ sono chiusi, ma questo sembra in contraddizione con quanto affermato precedentemente. Questo
 non è tuttavia una contraddizione in quanto risultano per definizione sia chiusi che aperti. \par \bigskip

Sia $ E \subseteq \mathbb{R}$. Sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item E è chiuso;
 \item I punti di frontiera di E sono contenuti: $ \delta E \geq E$;
 \item E contiene tutti i suoi punti di accumulazione
\end{enumerate}
Di conseguenza E è chiuso solo se $ E= \overline{E}$. \par \bigskip

Sia $ E \subseteq \mathbb{R}$ chiuso, limitato e non vuoto. Allora E ha massimo e anche minimo. Questo si può dimostrare supponendo
 che E sia superiormente limitato. Sia allora $p= sup E \ \in \mathbb{R}$.\\
Se $ p \in E$ allora $p= max E$.\\
Se p $\notin E \forall \varepsilon >0 \exists x \in E | p- \varepsilon < x < p$.
Perciò p è punto di accumulazione per E. Ma E è chiuso, quindi p deve appartenere a E.

\chapter{Limiti di Funzioni}
Sia $x \in \mathbb{R}$ e sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$. Se $x_0 \in \mathbb{R}* $ è un punto di accumulazione per x diciamo che:
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)=l
\]

Se per ogni intorno V di l esiste un intorno U di $x_0$ tale che 
\[
 x \in U \cap X, x\not= x_0 \Rightarrow f(x) \in V
\]
 Tuttavia non è necessario che $x_0$ sia un elemento di X:
\begin{itemize}
 \item Se $ l\in f(X)$ ed è punto di accumulazione, in V cadono infiniti elementi di f(x);
 \item Se $ l \in f(x)$ ed è isolato  scegliamo V tale che 
\[
 V \cap f(x)=l
\]
allora f è definitivamente costante per $x \rightarrow x_0$
 \item Si ha 
\[
\lim_{x \to x_0} f(x)= l \ \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} (f(x)-l)=0
\]

\end{itemize}
Infatti 
\[
\forall \varepsilon >0 \ \exists \ U \ intorno\  di \  x_0 \Leftrightarrow f(x)-l \in (-\varepsilon, \varepsilon)
\]
\[
 x \in U \cap X, x \not= \Rightarrow |f(x)-l|< \varepsilon
\]

Se
\[
 x_0, l \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_0} f(x)=l \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta>0 \ (U= (x_0- \delta, x_0+ \delta)|
\]
\[
 |x-x_0| < \delta , x \not= x_0 \ e \ x \in X \Rightarrow f(x)>b
\]

Se 
\[
 x_0 \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_0} f(x)= -\infty \Leftrightarrow dato \ b \in \mathbb{R} (V=(-\infty, b))
\]
\[
 \exists \delta>0 | \ |x-x_0|< \delta, x \not= \ e \ x\in X \Rightarrow f(x)<b
\]

Nel caso delle succesioni si ha: $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. In questo caso l'unico punto di accumulazione per $\mathbb{N}$ è
 $+\infty$, e quindi si può calcolare il limite solo per quest'ultimo valore. Cioè $\forall$ intorno di l $\exists \ a \in \mathbb{R} (U=(a, +\infty))|$
\[
 n>a, n \in \mathbb{R} \Rightarrow a_n \in V
\]\par \medskip
\section{Teorema di Unicità del limite}

Si può verificare che il limite è unico. Poniamo per assurdo:
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)=l_1 \not= l_2= \lim_{x \to x_0}
\]
Determiniamo $V_1$ intorno di $l_1$ e $V_2$ intorno di $l_2$ tali che $V_1 \cap V_2 = \varnothing$, allora:
\[
 \exists U_1 \ intorno \ di \ x_0 \ e \ x \in U_1 \cap X, x \not= x_0 \Rightarrow f(x) \in U_1
\]
\[
 \exists U_2 \ intorno \ di \ x_0 \ e \ x \in U_2 \cap X, x \not= x_0 \Rightarrow f(x) \in U_2
\]

Cosa accade per $ x\in (U_1 \cap U_2) \cap X, x \not= x_0$ ? \\

Si ha che $f(x) \in V_1 \cap V_2$, che è in contraddizione con le ipotesi.

\section{Teorema della permanenza del segno}

Sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ punto di accumulazione per il dominio.
Se
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)=l >0
\]
Allora f(x) è definitivamente positiva per $ x\to x_0$, cioè esiste un intorno U di $x_0$ tale che:
\[
 f(x)>0 \ se \ x \in U \smallsetminus{x_0}
\]

Se $ f(x)\geq 0 $ definitivamente per $x \to x_0$ ed esiste 
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)=l
\]
allora $ l \geq 0$. Infatti se fosse $l<0$, allora per il teorema si avrebbe $f(x) \leq 0$ definitivamente per $x \to x_0$.

Questo può essere dimostrato come segue. Sia 
\[
 lim_{x \to x_0} f(x)=l>0
\]
Dato $V= \left ( \frac{l}{2}, \frac{3}{2}l \right )$, per definizione di limite esiste U intorno di $x_0$ tale che:
\[
 x \in U \cap X , x \not= x_0 \Rightarrow f(x) \in V \Rightarrow f(x) > \frac{l}{2}
\] \par \medskip

Sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ punto di accumulazione per $ X \cap (x_0, \infty)$ e/o $ X \cap (-\infty, x_0)$. \\
Diciamo \textbf{limite destro} 
\[
 \lim_{x \to {x_0^+}} f(x) := \lim_{x \to x_0} f \lvert_{X \cap (x_0, +\infty)}(x)
\]
E \textbf{limite sinistro} 
\[
 \lim_{x \to {x_0^-}} f(x) := \lim_{x \to x_0} f \lvert_{X \cap (-\infty, x_0)}(x)
\]

Se esiste il limite di una funzione per x che tende a un punto, esistono anche i limiti destro e sinistro, e sono coincidenti. Se questi
 esistono ma non sono coincidenti, non esiste limite.

\section{Algebra dei Limiti}

\begin{enumerate}
 \item Se \[
           \lim_{x \to x_0} f(x)= +\infty
          \]
       e g(x) è definitivamente inferiormente limitato allora:
          \[
           \lim_{x \to x_0} f(x)+g(x)= + \infty
          \]
       Si osservi che la condizione su g è verificata se \[
                                                          \lim_{x \to x_=} g(x)= l \in \mathbb{R}
                                                         \]
\item Se \[
          \lim_{x \to x_0} f(x)= + \inf \ e \ \lim_{x \to x_0}g(x)=l>0
         \]
      allora:
         \[
          \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x)= +\infty
         \]
\item Se \[
          \lim_{x \to x_0} f(x)=0
         \]
      e g(x) è definitivamente limitata per $x \to x_0$, allora:
         \[
          \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x)= 0
         \]
\item Se \[
          \lim_{x \to x_0} f(x)= +\infty \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)}=0
         \]
      E' importante notare che non è possibile invertire il verso di questa implicazione.

\end{enumerate}
Diremo forme indeterminate il calcolo di un limite che non rientra nei precedenti casi.

\section{Teorema del confronto}

Siano f,g,h funzioni, e $x_0$ punto di accumulazione per l'intersezione dei domini. Supponiamo che si abbia:
\[
 f(x) \leq g(x) \leq h(x) \ per \ x \to x_0
\]
Se
\[
 \lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}h(x)=l \in \mathbb{R}^*
\]
allora anche 
\[
 \lim_{x \to x_0} g(x)=l
\]

E' possibile dimostrare il suddetto teorema per $ \mathbb{R}^*$, ma noi lo dimostreremo solo per $l \in \mathbb{R}$. Se $l=+\infty$ allora
 sarà necessario solo f(x), e viceversa per $- \infty$. \par \medskip

Vorremmo che $\forall \varepsilon >0 $ si abbia $ l-\varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon$ definitivamente per $ x \to x_0$.
Poichè:
\[
 \lim_{x \to x_0}f(x)=l \ \exists  U_1 \ intorno \ \ di \ x_0 |
\]
\[
 x \in U_1 \cap dom \ f , \ x\not= x_0 \Rightarrow l-\varepsilon <f(x)< l+ \varepsilon
\]
Poichè:
\[
 \lim_{x \to x_0}h(x)=l \ \exists  U_2 \ intorno \ \ di \ x_0 |
\]
\[
 x \in U_2 \cap dom \ h , \ x\not= x_0 \Rightarrow l-\varepsilon <h(x)< l+ \varepsilon
\]
Se ora prendiamo :
\[
 x \in U_1 \cap U_2 \cap (dom \ f \cap dom \ g \cap dom \ h), \ x\not= x_0 \Rightarrow
\]
\[
 l-\varepsilon< f(x) \leq g(x) \leq (hx) < l+\varepsilon
\]
\[
 l- \varepsilon< g(x)  < l+\varepsilon
\]


\section{Teorema dei limiti delle funzioni monotone}
Sia $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione crescente, e $x_0$ punto di accumulazione per $ X \cap (x_0, + \infty)$ o $X \cap (- \infty, x_0)$.
Allora esistono:
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)= inf \{ f(x): x \in X, \ x >x_0 \}
\]
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)= sup \{ f(x): x \in X, \ x <x_0\}
\]
Questo teorema garantisce che le funzioni monotone abbiano sempre limite destro e sinistro. Questi possono tuttavia essere differenti, e in questo
 caso si dice che la funzione  non ha limite in quel punto.

Il teorema si può dimostrare come segue, provando che se f è crescente:
\[
 \lim_{x \to x_0} f(x)= inf \{ f(x): x \in X, \ x >x_0 \}=l \in \mathbb{R}
\]
Si ha che $ \forall \varepsilon<0$ per le proprietà di inf:
\[
 \exists x_{\varepsilon} \in X , \ x_{\varepsilon}> x_0 | l \leq f(x_{\varepsilon} < l+ \varepsilon
\]
Se ora $ x\in X, x \in (x_0, x_{\varepsilon}$, si ha:
\[
 l- \varepsilon \leq l \leq f(x) \leq  f(x_{\varepsilon} \leq l+ \varepsilon
\]
Quindi risulta che 
\[ 
l- \varepsilon \leq f(x) \leq l+ \varepsilon 
\]
 \section{Teorema del limite di funzioni composte}
Siano $f: X \rightarrow \mathbb{R}, \ \ g: Y \rightarrow \mathbb{R} \ \ e f(x) \subseteq Y$.
Possiamo quindi calcolare $g(f(x))$:
Sia $x_0$ punto di accumulazione per X in $\mathbb{R}^*$.
Se \[
    \lim_{x \to x_0} f(x)= l \ e \ \lim_{y \to l} g(x)=k
   \]
e $f(x) \not= l$ definitivamente per $ x \to x_0$, allora: \ \ \textbf{(*)}
\[
 \lim_{x \to x_0} g(f(x)) =k
\]

Il valore l è punto di accumulazione per l'insieme Y, e quindi posso calcolare il limite. Infatti, poichè:
\[
 \lim_{x \to x_0}f(x)=l
\]
allora dato V intorno di l, si ha $f(x) \in V$ definitivamente per $ x \to x_0$ e $ l \not= f(x)$-

L'ipotesi \textbf{(*)} è verificata se:
\begin{enumerate}
 \item $l= \pm \infty$
 \item $ x_0 \in X, \ f$ è invertibile e $f(x_0)=l$
\end{enumerate}

Il teorema inoltre vale anche se l sta in Y $ \rightarrow g(l)=k$



\end{document}
